射影定理_百度知道

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直角三角形射影定理（又叫欧几里德()定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。仏条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式△中,∠90°,是斜边上的高,则有射影定理如下1)()2;·, (2)()2;· , (3)()2;· 。 等积式 (4)(可用面积来证明)　直角三角形射影定理的证明  射影定理简图(几何画板)：（主要是从三角形的相似比推算来的）　一、 　　在△与△中，∵∠∠90°，且∠∠90°， 　　∴∠∠， 　　又∵∠∠90° 　　∴△∽△ 　　∴  　　即2·。其余同理可得可证 　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。 　　有射影定理如下： 　　2·，2· 　　两式相加得： 　　22·· （)·2 . 　　即222（勾股定理结论）。 　　二、 　　已知:三角形中角90度,是高. 　　用勾股证射影 　　∵22222, 　　∴2()()2×. 　　故×. 　　运用此结论可得:××() ×, ×()×. 　　综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。编辑本段任意三角形射影定〆　任意三角形射影定理又称“丬余弦定理”： 　　△的三边是、、，它们所对的角分别是、、，则有 　　··， 　　··， 　　··。 　　注：以“··”为例，、在上的射影分别为·、·，故名射影定理。 　　证明1：设点在直线上的射影为点，则、在直线上的射影分别为、，且 　　·，·，∴··. 同理可证其余。 　　  证明2：由正弦定理，可得：，()() 　　()··. 同理可证其它的。编辑本段射影定理  面积射影定〆　面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。” 　　θ射影原 　　(平面多边形及其射影的面积分别是原,射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ) 　　证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比边长的平方比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中乜直角三角形，并使斜边二直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那么三角形的斜边和仦直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可。